Línea de espera modelo M/M/1

La teoría de colas MM1 se refiere a un modelo matemático utilizado para analizar el comportamiento de una cola o fila en un sistema de servicio en el que los clientes llegan al sistema de forma aleatoria y son atendidos por un único servidor. La notación MM1 significa "Markov Modulated 1", que se refiere a que el proceso de llegada de clientes y el proceso de servicio son procesos de Markov.

En el modelo MM1, se asume que la tasa de llegada de los clientes al sistema y la tasa de servicio del servidor son constantes y siguen una distribución de Poisson. Además, se supone que los clientes son atendidos de acuerdo con un sistema de servicio FIFO (primero en entrar, primero en salir).

Métricas

Para obtener las métricas en la teoría de colas MM1, se requiere conocer los parámetros del sistema, que son la tasa de llegada de clientes (λ) y la tasa de servicio del servidor (μ).

Tasa de llegada de clientes (λ) se refiere a la tasa promedio a la cual los clientes llegan al sistema de servicio. Por ejemplo, en un centro de llamadas, λ podría ser la tasa promedio de llegada de llamadas por hora. En una tienda, λ podría ser la tasa promedio de llegada de clientes por minuto.

Tasa de servicio del servidor (μ) se refiere a la tasa promedio a la cual el servidor atiende a los clientes. Por ejemplo, en un centro de llamadas, μ podría ser la tasa promedio de llamadas atendidas por hora. En una tienda, μ podría ser la tasa promedio de clientes atendidos por minuto.

Es importante tener en cuenta que la tasa de llegada de clientes y la tasa de servicio del servidor deben estar en la misma unidad de tiempo para que las fórmulas de la teoría de colas MM1 sean aplicables. Además, la tasa de servicio del servidor debe ser mayor que la tasa de llegada de clientes para evitar que se produzcan congestiones en el sistema.

Una vez que se conocen estos parámetros, se pueden calcular las siguientes métricas:

Tasa de utilización del servidor (ρ): es la fracción del tiempo que el servidor está ocupado. Se puede calcular mediante la fórmula:

ρ = λ / μ

Tiempo promedio de espera en la cola (Wq): El tiempo promedio que un cliente pasa en la cola antes de ser atendido. 

Wq = ρ / (μ - λ)

Tiempo promedio de espera en el sistema (Ws): El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, incluyendo el tiempo de espera en la cola y el tiempo de servicio.

Ws = Wq + 1 / μ

Número promedio de clientes en la cola (Lq): El número promedio de clientes en la cola.

Lq = λ * Wq

Número promedio de clientes en el sistema (Ls): El número promedio de clientes en el sistema, incluyendo aquellos que están siendo atendidos y aquellos que están esperando en la cola.

Ls = λ * Ws

Es importante tener en cuenta que estas fórmulas se aplican solo en el caso de que el sistema esté en equilibrio, es decir, que la tasa de llegada de clientes sea menor o igual a la tasa de servicio del servidor. Si el sistema está sobrecargado, las métricas pueden ser diferentes y puede haber clientes que no sean atendidos o que abandonen la cola.

Estas métricas son útiles para comprender el rendimiento de los sistemas de servicio, identificar cuellos de botella y encontrar formas de mejorar la eficiencia del sistema y optimizar el diseño y la operación de sistemas de servicio, como líneas de producción, centros de llamadas y redes de computadoras. 

Plantilla

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